서로소 뜻 - coprime

 

수학에서 '서로소'라는 개념은 중학교 때 배운다.

서로소는 "공약수가 1뿐인 두 정수 또는, 공약수가 0이 아닌 상수만 가지는 두 다항식"으로 보통 정의된다.

국어국립어원의 표준국어대사전에서 서로소를 찾아보면 "서로素"가 표시되어 있다. 즉, 우리말 "서로"와 "본디"라는 뜻이 있는 "素"가 합쳐진 단어이다. 영어로 서로소는 coprime이라고 쓰는데, 이 단어의 어원을 풀이하면 서로소와 같은 말이 된다. 즉, 모든 정수는 1을 약수를 "본디" 가지고 있는 것으로 파악하면 된다.

여기서 공약수란 두 개 이상의 정수에 공통된 약수를 뜻한다. 그렇다면 약수는 무엇일까?

약수는 어떤 수나 식을  어떤 것으로 나누었을 때, 나머지가 없이 떨어지는 수나 식을 말한다.

예를 들어 6의 약수는 다음과 같이 구할 수 있다.

6을 1로 나누면 몫이 6이고 나머지는 0이므로 1은 6의 약수가 되며, 6을 6으로 나누면 몫이 1 나머지는 0이므로 6도 6의 약수가 된다. 또한 6을 2로 나누면 몫이 3, 나머지가 0, 6을 3으로 나누면 몫이 2, 나머지가 0이 되므로 2와 3이 6의 약수가 된다. 

따라서 6의 약수는 {1, 2, 3, 6}이 되는 것이다.

이런 식으로 5의 약수를 구하면 {1, 5}가 된다.

따라서 5와 6은 공통된 공약수가 1뿐이므로 5와 6은 서로소가 되는 것이다.

위에서 5와 6의 약수를 쓸 집합을 나타내는 기호 { }를 사용하였다. 5, 6의 약수를 집합으로 나타냈을 때, 교집합이 1뿐이면 두 수는 서로소임을 보여준다고 할 수 있다. 하지만, 집합론에서 서로소의 정의는 정수인 경우와 다름에 주의할 필요가 있다.

집합론에서 서로소는 어떤 집합들의 교집합이 공집합일 때, 그 집합을 서로소라고 정의한다. 즉, 확률에서는 어떤 사건들에 해당하는 집합이 서로소이면, 그 사건들은 배반 사건이 된다. 

배반 사건이란 "서로 동시에 발생하지 않은 사건"을 말한다. 두 사건이 배반 사건이라면 한 사건이 발생했을 때, 다른 사건은 절대로 발생할 수 없다.

A가 일어날 확률의 P(A)라 하고,  B가 일어날 확률의 P(B)라고 하고, A와 B가 배반 사건이라면, 두 집합의 교집합이 공집합이므로 A와 B 중 적어도 하나가 일어날 확률을 구할 때는 P(AUB) = P(A)+P(B)처럼 확률의 덧셈 정리가 성립하며, 사건 A와 B가 동시에 일어날 확률을 정리한 확률의 곱셈 정리는 P(A∩B) = 0이 된다.