로그함수 실생활 활용 사례 - 상용 로그 실생활 - log

고등학교 수학I에 지수함수와 로그함수가 있다. 

이번 글에서는 로그함수가 실생활에서 어떻게 활용되고 있는지 살펴보고자 한다. 이 글은 로그와 상용로그가 우리에게 얼마나 중요한지를 실생활 활용의 예로 살펴봄으로써, 딱딱하고 지루하기만 했던 수학의 개념을 조금이나마 흥미를 가질 수 있는 계기가 되기를 희망해 본다.

은행의 이자 계산

로그가 은행의 이자 계산과 어떠한 상관관계가 있는지 궁금하다면 다음 문제에 대해서 생각해 보면 수긍이 갈지도 모르겠다. 물론, "이러한 문제는 필요 없어."라고 말할지는 모르지만, 다음과 같은 간단한 예시 문제를 생각해 보자.

"원금이 1,000만원이고, 1년 이자가 5%이라면 원금의 2배인 2,000만원이 넘으려면 몇 년이 필요할까?"

1,000만원은 1년이 지나면 이자는 1,000만원×0.05=50만원이 된다. 1년 후에 원금은 처음 원금과 이자를 합쳐서 1,050만원이 되고, 2년 후에는 이자가 1,050만×0.05=525,000원이 된다. 따라서 2년 후의 원금은 11,025,000원이 된다.

이런 식으로 계속 계산하면 언젠가는 2,000만원이 넘는 기간을 계산할 수 있을 것이다.

필요한 연수를 n이라고 한다면, 이를 하나의 식으로 나타내면 다음과 같다. 

로그는 이러한 계산을 좀 더 빠르고 효율적으로 해 준다.

양변에 10,000,000이 공통으로 있으니 이를 약분하면 다음과 같이 계산된다.

여기까지 써 넣고 보니, 지수함수 꼴이 되었다. 1.05를 몇 번 제곱하면 2가 되는가의 문제로 이 문제는 상용로그를 써서 풀면 아주 간단하게 풀린다.

log2는 약 0.3, log1.05는 약 0.02가 되므로 이와 대략적인 n의 값을 계산하면 약 15가 되고, 예금 상태를 유지하면 15년 이후에 원금의 2배 이상을 받게 될 것이다.

유물의 역사 구하기

가끔 TV 등에서 구석기, 신석기, 청동기 시대에 대한 유물이 발견되었다는 뉴스를 접하게 된다. 그 유물이 만들어진 시기는 어떻게 구할 수 있을까? 보통 방사성 탄소 동위 원소의 반감기를 계산해서 구한다. 이것을 구할 때도 로그는 쉽게 구할 수 있는 하나의 역할을 한다. 동위원소인 탄소14는 약 5730년마다 그 양이 1/2로 줄어든다고 한다. 처음 탄소 14의 양이 a mg이고, n년 후에 남아 있는 탄소14의 양을 y mg이라고 한다면, y와 n의 관련 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

예를 하나 들어보자.

어떤 장소에서 발견한 유물에서 탄소 14의 양이 5 mg 남아 있었다고 한다. 처음 탄소 14의 양이 100 mg이었다면 이 유물은 몇 년 전인 것인지를 구하는 문제이다. 위 식에 대입하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

위 계산식도 로그와 상용로그를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

천문학에서 활용 - 겉보기 등급

상용로그표에서 log2는 0.3010, log5는 0.6990이므로 위 식에 대입하면 쉽게 n의 값을 구할 수 있겠다.

천문학자들은 별을 관찰하면서 별들의 밝기 비와 등급과 관계된 수학식을 만들었다. 두 별의 등급을 m, n이라고 하고, 겉보기 밝기를 각각 lm, ln인 두 별 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

이 수식에 지수가 있으므로 상용로그를 취하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

기타

이 밖에도 로그와 상용로그 개념은 통신, 전기, 지진, 엑스레이, 등등에서 수많은 복잡한 식을 쉽게 계산하도록 도와준다.

로그를 써서 계산을 쉽게 계산할 수 있는 방법은 영국의 수학자 네이피어가 로그표를 완성하는 것에서 시작하여 영국의 수학자이자 천문학인 브리어스가 네이피어의 로그표를 바탕으로 상용로그표를 만들어 발표함으로써 탄생하게 되었다.

대항해 시대의 항해와 관련된 복잡한 계산, 별의 움직임과 행성의 궤도 복잡한 계산, 우주의 거리, 거대 구조물과 같은 복잡한 계산을 하는데, 로그와 상용로그의 역할은 지대했다고 할 수 있겠다.