수학적 귀납법 증명, 실생활 활용 사례 - mathematical induction

 

수학적 귀납법은 일반적으로 처음 몇 개의 항과 여러 항 사이의 관계식으로 수열을 정의하는 것을 말한다.

자연수 n에 관한 어떠한 명제가 있다고 하자.

n=1, n=2, n=3일 때, 성립하는 어떤 식을 계속 증명한다고 해도, 자연수 n에서 그 명제가 증명할 수는 없다. 하지만, n=1일 때, 그 명제가 성립하는 것을 증명하고, n이 임의의 수 k일 때(n=k) 그 명제가 성립하면, n이 k+1(n=k+1)일 때도 성립한다는 규칙을  증명한다면, 그 명제는 모든 자연수 n에 대해서 성립한다고 보는 것이 바로 수학적 귀납법이다.

즉, 모든 자연수 n에 대하여 증명해야 하는 명제는 다음 두 가지 조건을 만족하면 수학적 귀납법을 이용한 증명이 된다고 이해하면 된다.

1. 명제 p(1)이 성립한다.

2. 명제 p(k)가 성립한다면 명제 p(k+1)도 성립한다.

유명한 수학자인 가우스가 어릴 때 계산했다고 하는 1부터 연속된 자연수의 합을 구하는 공식으로 수학적 귀납법을 증명하면 다음과 같다. 

먼저, n=1일 때는 다음과 같이 계산되기 때문에 성립한다.

다음으로 n=k일 때, 이 식이 성립한다고 가정한다.

마지막으로 n=k+1일 때, 성립함을 보이면 위 식은 수학적 귀납법 증명이 완료된다.

위 계산 결과는 k+1까지 계산한 다음 값과 일치한다.

따라서 1부터 연속된 자연수의 합은 다음과 같은 식이 성립한다.

이런 절차를 거친다면 1의 제곱, 2의 제곱, ... n의 제곱의 합이나, 자연수의 세 제곱의 합을 나타내는 공식을 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

점화식도 수열에서 이웃하는 두 개의 항 사이에서 성립하는 관계를 나타낸 식을 말하므로 수학적 귀납법의 한 가지 예라고 할 수 있겠다.

 

요즘 수능에서 공통 15번의 경우는 조건에 따라 변하는 수열이 자주 출제되는데, 얼마 전에 발표된 킬러 문항 배제에 따라 이 같은 문제가 조금 쉽게 나올 가능성도 있을 것이다.

 

점화식 2~3 유형(계차수열 형식이 아닌 것)은 익혀 두는 것이 도움이 될 것으로 생각한다.

 

이러한 수학적 귀납법은 실생활에서 어떠한 쓸모가 있을까?

 

가장 흔하게 볼 수 있는 것이 바로 이 글을 보고 있는 컴퓨터가 활용 사례의 첫 번째일 것이다.

 

컴퓨터 프로그램에서 암호를 만들 때, 수열을 이용하여 알고리즘을 생성한다. 그 알고리즘은 앞의 항을 이용하여 다음 항을 만드는 귀납적 정의를 활용한다.

 

요즘 뜨고 있는 인공지능 AI는 어떠한가?

 

생성 AI가 학습하는 방법 중에는 주어진 학습 데이터를 기반으로 해서 최적의 추론을 수행하기 위해 귀납적으로 배우는 단계를 거친다. 따라서, AI도 수학적 귀납법이 응용되어 적용되었다고 할 수 있을 것이다.

 

컴퓨터 암호와 관련해서, 지문이나 홍채 같은 생체 인식도 알고 보면, 수많은 경우의 수를 제거하면서 일치하는 것을 찾는 것이므로 수학적 귀납법이 사용되고 있음을 알 수 있다.