순환소수 분수로 바꾸는 방법 - recurring decimal

 

다음 분수를 소수로 나타내면 어떻게 될까?

위 분수를 소수로 나타내면 0.1111111........처럼 나누어지지 않으면서 1이 계속 반복된다.

이처럼 소수 아래의 어떤 자리부터 일정한 숫자가 한없이 되풀이 되는 것을 순환소수라고 하며, 되풀이 되는 일정한 숫자의 배열을 순환마디라고 한다.

무한소수 0.1111.....에서 순환 마디는 1인 순환소수이다. 첫 번째 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어서  다음과 같이 쓸 수 있다.

정수가 아닌 분수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모가 2 또는 5 이외의 소인수를 가지면 그 분수는 순환소수로 나타낼 수 있다. 여기서 기약분수란 분모와 분자가 1이외에 공통된 인수를 갖지  않을 때의 분수를 말하는데, 말하자면 더 분자와 분모가 서로 약분이 되지 않은 분수를 말한다.

다음 분수 20분의 6은 순환소수가 될 수 있을까?

분수 중에서 순환소수가 되는 조건을 알아보면 재미있다.

20분의 6을 기약분수로 바꾸면 10분의 3이 되고, 이때 분모는 2 곱하기 5로 2와 5를 인수로 가지므로 이 분수를 소수로 나누면 0.3인 유한소수가 된다.

만약에 7분의 3을 소수로 나타내면 순환소수가 될 수 있을까? 결과만 말한다면 이 분수는 순환소수가 된다. 왜냐하면, 분모 7은 2나 5를 인수를 가지지 않았기 때문이다. 실제로 7분의 3을 소수로 계산해 보면, 0.428571....처럼 428571가 계속해서 반복됨을 알 수 있다.

그렇다면 순환소수를 분수로 어떻게 나타낼 수 있을까?
순환소수 0.44444.....를 분수로 만드는 방법은 다음과 같다.

1. 먼저 주어진 순환소수를 x라고 둔다.

2. 위 식의 양변에 10을 곱한다.

3. 2에서 1의 식을 빼면 좌변은 9x = 4가 된다. 따라서 x=4/9가 된다.

일반적으로 주어진 순환소수를 분수로 나타내는 방법은 순환소수에 적당한 10의 거듭제곱을 곱하여 소수점 아래를 서로 같게 만들고 두 식을 빼면 순환소수를 분수로 나타낼 수 있다.