[삼각함수 부등식 응용 문제] 2024 9월 모의평가, 모의고사 수학 9번 해설 - Trigonometric Inequalities

 2023년 9월 6일에 실시된 한국교육과정평가원이 주관한 9월 모의고사 수학 9번에 관한 해설을 해 보고자 한다.

9번 문항은 수학 I에서 배운 내용으로 기본적으로 삼각함수가 포함된 부등식에 관한 문제이다. 삼각함수가 포함된 방정식이나 부등식 문제의 경우, 대부분 삼각함수 sin, cos, tan 그래프를 그려서 해결할 수 있다. 하지만, 그래프의 특징을 정확하게 이해하지 않으면 헷갈릴 수도 있을지도 모른다.

삼각함수 관련 처음 들어갈 때, 대부분 호도법을 배운다. 이 호도법과 단위원을 이용하면, sin, cos, tan 함수의 그래프를 그렸을 때보다 좀 더 쉽게 접근해서 풀 수 있을지도 모른다.

그래서 이번 글은 단위원(반지름이 1인 원)이 그려진 호도법을 이용해서 해당 문제를 해결해 보고자 한다.

수학 9번의 문제를 요약하면 다음과 같다.

x의 범위가 0에서 2파이까지일 때, 위 부등식을 만족하는 모든 x의 범위를 구하라는 것이다.

부등식이 cos값과 sin값으로 제시되어 있고, sin 값은 특수각은 아니지만 7분의 파이라고 주어졌으므로 이 sin 값을 cos값으로 변환시켜 주면 다음과 같다.

즉, 문제에서 주어진 부등식을 cos을 써서 정리하면 다음과 같다.

위 부등식을 주어진 x의 범위에서 단위원을 그려서 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있다. 즉, cos값은 x 좌표의 값이 되므로, 동경 14분의 5파이는 3분의 파이보다 약간 크므로 다음과 같이 나타낼 수 있으며 cosx는 cos 14분의 5파이보다 작거나 같으므로 아래 그림처럼 표시할 수 있다.

위 그림에서 아랫부분의 동경의 값은 2파이에서 동경 14분의 5파이를 뺀 값이므로 아래와 같이 계산하여 쓸 수 있다.

따라서 구하고자 하는 모든 x값의 범위는 다음과 같이 쓸 수 있다.

구하고자 하는 값은 뒤 범위의 값의 차이이므로 다음과 같이 최종적인 답을 구할 수 있겠다.