어떤 시험이든 보고 나면 아쉬움이 남는다. 특히 어려운 문제여서 해결하지 못했던 문제를 시험 후 풀이 과정을 보면 더 그렇다. 가장 큰 이유는 그러한 문제를 접하지 못해서 감을 못 잡았는데 어김없이 또 처음 본 문제가 나왔고 풀이 과정을 보면 왜 그런 걸 시험 볼 때는 생각하지 아쉬움이 남기 때문이다.
출제자와 수험생 간의 괴리는 그래서 시험의 아쉬움으로 포장되어 흩어진다.
2024 수능 22번이 올해도 만만치 않았나 보다. 3차함수에서 항상 나오는 듯 한데, 특히 올해는 모의고사부터 수능까지 그넘의 3차함수 비율 관계를 알아야 시간 단축되는 문제가 사라졌다는 것에서 암기보다는 이해에 방점을 두는 것으로 옮겨갔음을 느낄 수 있겠다. 교육과정에 언급하지 않아 교과서에 없는 삼차함수 비율 관계에 안녕을 고한다. 그러면서 나는 꿈을 꾼다.
올해 문제를 해결해 보자.
먼저 조건에서 k-1과 k+1은 2차이가 난다. f(k-1)f(k+1)이 0보다 작고, 정수 k가 존재하지 않다고 했으므로 두 함수식의 곱은 0보다 크거나 같으며, 이때, k가 존재해야 한다고 볼 수 있다.
f(k-1)=0이거나 f(k+1)=0이 되면 f(k-1)f(k+1)=0이 되므로 조건을 성립한다. 또한, k-1과 k+1 사이에는 k가 존재한다. 따라서 k-1, k, k+1이 세 근인 삼차함수를 생각해 본다.
k=0이라고 가정하면, 세 근은 -1, 0, 1이 되고, 조건을 만족한다.
그런데, 주어진 f'(- 1/4)이 - 1/4이므로 세 근은 -1, 0, 1 삼차함수는 성립하지 않으므로 모순이다.
두 번째로 세 근이 k-1, k와 k+1보다 클 때, 즉, -1, 0, 1보다 크면, 주어진 조건을 만족하지만, f'(- 1/4), f'(1/4)의 조건에 모순이므로 성립하지 않는다.
마지막으로 세근이 k-1보다 작고, k, k+1일 때, 즉, -1보다 작고, 0, 1이면 주어진 조건을 만족하며, f'(- 1/4), f'(1/4)의 조건에 부합하므로 성립한다.
따라서, -1보다 작은 근을 m, 나머지 근을 0, 1이라고 하면, f(x)=x(x-1)(x-m)이 된다. 이 함수를 미분해서 x=- 1/4을 대입한 값이 -1/4이라는 등식을 풀면 m을 구할 수 있다.
m이 구해졌으면, 마지막으로 문제에서 물어보는 f(8)의 값은 계산한 f(x)에 x=8을 대입해서 계산한다.
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