역행렬 공식, 역행렬 구하기, 역행렬 가우스 소거법, 2×2 행렬- inverse matrix

2022 교육 과정에서 고등학교 수학의 공통 과정에 행렬이 포함되었다. 그동안 오랫동안 수학 공통 과목에서 행렬이 포함되지 않았는데, 결국 이번 교육 과정에서 포함되었다. 그 이유는 잘 모른다. 나는 수학 전공자가 아니므로..... 하지만, 한 가지 힌트는 얻을 수 있겠다. 행렬은 영어로 matrix (매트릭스)이며, 잘 알려진 영화 제목이기도 하지만, 자세한 설명은 생략하도록 하겠다.

어쨌든, 고등학교 수준에서 행렬은 2x2까지가 기본이며, 특히 역행렬을 구하는 경우는 이 이상을 초과할 수 없는 듯하다. 예전에 대학교 1학년 때, 경영 수학이라는 과목에서 3x3 이상의 역행렬을 구하는 방법을 배운 적이 있는데, 방법은 가우스 소거법을 이용했던 것 같다. 고등학교 수준에서는 정말 쓸모 없을 수 있지만 기본 행렬의 역행렬 공식과 가우스 소거법을 이용해서 역행렬을 구해 보고자 한다.

먼저, 역행렬 공식은 다음과 같다.

만약에 1, 2, 3, 4로 이루어진 행렬이 있다고 하면, 역행렬은 공식에 대입해서 다음과 같이 구할 수 있다.

-1/2을 괄호 안에 수와 차례로 곱해서 그 결과 값을 괄호에 써서 정리해 주면 역행렬을 구할 수 있게 된다.

가우스 소거법으로 역행렬을 구하는 방법은 다음과 같다. 원리를 설명하는 글은 다음 기회로 미루고 이번에는 과정만을 설명해 보겠다. 먼저, 원래 행렬 옆에 단위 행렬을 써 준다.

가우스 소거법은 별게 없다. 위와 같이 써 놓고, 앞에 있는 행렬을 단위 행렬로 바꾸어 주면,  뒤에 있는 단위 행렬이 바뀌는데, 그게 바로 역행렬이 된다. 이것은 3차 이상의 행렬의 역행렬을 구하는 데 유용하다.

먼저, 3을 0으로 만들어 주기 위해 아래와 같이 선을 하나 긋고 선 위에 있는 숫자에 -3을 곱해서 아래 숫자를 더해 준다. 

이제 -2를 1로 만들어 주기 위해 선 아래에 있는 숫자에 -1/2을 곱해 준다.

마지막으로 2를 0으로 만들어 주기 위해 선 아래에 있는 숫자에 -2를 곱한 후, 선 위에 있는 숫자와 더해 준다.

앞에 있는 행렬이 단위 행렬이 되었으므로 뒤에 있는 행렬이 바로 구하고자 하는 역행렬이 된다. 공식으로 구한 역행렬과 비해 보면 결과가 같다는 것을 알 수 있다.

이상으로 역행렬 공식, 역행렬 공식으로 구하기, 가우스 소거법으로 역행렬 구하는 방법에 관한 설명을 마친다.